Grundlagen Der Arithmetik Und Fachdidaktische Konzepte Der Mathematik Practice Tests

Question 1

Beweisen Sie algebraisch, dass eine dreistellige Zahl $100a + 10b + c$ genau dann durch $9$ teilbar ist, wenn ihre Quersumme $a+b+c$ durch $9$ teilbar ist.

Accepted Answer

Die Zahl lässt sich schreiben als $99a + a + 9b + b + c = 9(11a + b) + (a+b+c)$. Da $9(11a + b)$ immer durch $9$ teilbar ist, muss $(a+b+c)$ ebenfalls durch $9$ teilbar sein.

Question 2

Welche der folgenden Zahlen ist durch $9$ teilbar?

Accepted Answer

5436

Answer

1234

Answer

7892

Answer

1001

Question 3

Erklären Sie die Teilbarkeit durch $9$ für eine fünfstellige Zahl $10000a + 1000b + 100c + 10d + e$ unter Verwendung der Zerlegung in Potenzen von $10$.

Accepted Answer

Die Zahl ist $9999a + a + 999b + b + 99c + c + 9d + d + e = 9(1111a + 111b + 11c + d) + (a+b+c+d+e)$. Der Ausdruck in der Klammer ist durch $9$ teilbar, daher hängt die Teilbarkeit von der Quersumme $a+b+c+d+e$ ab.

Question 4

Wenn man eine Zahl $n$ durch $9$ teilt, ist der Rest der Division identisch mit dem Rest der Division ihrer Quersumme durch $9$.

Accepted Answer

True

Answer

False

Question 5

Berechnen Sie den Neunerrest der Zahl $87654$.

Accepted Answer

3

Question 6

Ein Schüler rechnet $12345 - 6789 = 5556$. Nutzen Sie den Neunerrest, um zu prüfen, ob das Ergebnis korrekt sein kann. Welcher Neunerrest ergibt sich für die Differenz der Neunerreste?

Accepted Answer

0

Answer

3

Answer

6

Answer

9

Question 7

Welche der folgenden Zahlen sind Primzahlen?

Answer

17

Answer

21

Answer

51

Answer

97

Question 8

Bestimmen Sie die Primfaktorzerlegung der Zahl $840$.

Accepted Answer

2^3 	imes 3 	imes 5 	imes 7

Question 9

Wie viele Teiler hat die Zahl $72$?

Accepted Answer

12

Question 10

Wie funktioniert das Sieb des Eratosthenes prinzipiell?

Accepted Answer

Man streicht systematisch alle Vielfachen der gefundenen Primzahlen aus der Liste der natürlichen Zahlen.

Answer

Man addiert alle Zahlen bis $n$ und prüft die Teilbarkeit durch $n$.

Answer

Man teilt die Zahl durch alle ungeraden Zahlen bis zur Quadratwurzel der Zahl.

Answer

Man berechnet die Quersumme und prüft, ob diese eine Primzahl ist.

Question 11

Betrachten Sie die Zahlenfolge $2, 5, 8, 11, \dots$. Welcher mathematische Prozess liegt der Identifikation des nächsten Gliedes zugrunde, wenn man das Prinzip der Mustererkennung anwendet?

Accepted Answer

Die Bestimmung der Differenz $d = 3$ zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern.

Answer

Die Anwendung der Formel $a_n = n^2 + 1$.

Answer

Die Umwandlung der Folge in eine grafische Darstellung ohne Berechnung.

Answer

Das Raten der nächsten Zahl basierend auf der Primzahlverteilung.

Question 12

Welche der folgenden Aufgabenstellungen fördern das 'produktive Üben' im Sinne der didaktischen Prinzipien?

Answer

Lösen von Aufgaben, bei denen durch Variation der Parameter $a$ und $b$ in $f(x) = ax + b$ die Veränderung des Graphen beobachtet wird.

Answer

Auswendiglernen der Multiplikationstabelle bis $20 	imes 20$.

Answer

Erstellen einer eigenen Rechenaufgabe, deren Lösung $x = 15$ ergibt.

Answer

Abschreiben von 50 identischen Additionsaufgaben von der Tafel.

Question 13

Wandeln Sie die römische Zahl $MCCXLIV$ in das moderne indisch-arabische Positionssystem um.

Accepted Answer

1244

Question 14

Ein rein additives Zahlensystem (wie das römische) benötigt zwingend eine Null, um den Stellenwert einer Ziffer zu definieren.

Accepted Answer

True

Answer

False

Question 15

Ein Schüler soll die Gleichung $3x + 5 = 20$ lösen. Welcher didaktische Ansatz unterstützt die 'vergegenständlichende Abstraktion' am besten?

Accepted Answer

Verwendung einer Waage, bei der auf einer Seite $3$ Boxen mit unbekanntem Inhalt $x$ und $5$ Einer-Würfel liegen, während auf der anderen Seite $20$ Einer-Würfel liegen.

Answer

Auswendiglernen der Regel: 'Bringe die Zahl auf die andere Seite und ändere das Vorzeichen'.

Answer

Sofortiges Einsetzen von Werten für $x$, bis die Gleichung stimmt.

Answer

Zeichnen eines beliebigen Graphen einer Funktion $f(x) = 3x + 5$.

Question 16

Berechnen Sie den Wert der Zahl $234_5$ (Basis 5) im dezimalen Positionssystem (Basis 10).

Accepted Answer

69

Question 17

Ein Schüler behauptet, dass das Ergebnis der Subtraktion $842 - 357 = 475$ korrekt sein muss, da die Quersummen der Zahlen die Bedingung $Q(842) - Q(357) = Q(475)$ erfüllen. Berechnen Sie den Neunerrest (Rest bei Division durch 9) für alle drei Zahlen und bestimmen Sie, ob die Rechnung basierend auf der Neunerrestprobe korrekt sein kann.

Accepted Answer

Neunerrest 842 ist 5, Neunerrest 357 ist 6, Neunerrest 475 ist 7. Da $5 - 6 = -1 \equiv 8 \pmod 9$ und $8 
eq 7$, ist die Rechnung falsch.

Question 18

Betrachten Sie die didaktische Anforderung der 'Vergegenständlichenden Abstraktion'. Welche der folgenden Aufgabenstellungen fördert diesen Prozess am effektivsten bei der Einführung der Teilbarkeitsregel für 9?

Accepted Answer

Die Schüler legen die Zahl 126 mit Hunderter-, Zehner- und Einer-Plättchen aus und tauschen systematisch Zehner- und Hunderter-Plättchen in Einer-Plättchen um, um den Rest zu visualisieren.

Answer

Die Schüler lernen die Regel auswendig und wenden sie auf 20 verschiedene Zahlen an.

Answer

Die Schüler beweisen die Regel algebraisch durch die Zerlegung $100a + 10b + c = 99a + a + 9b + b + c$.

Answer

Die Schüler vergleichen das römische Zahlensystem mit dem Dezimalsystem.

Question 19

Ein additives Zahlensystem (wie das römische) ist prinzipiell besser geeignet, um die Teilbarkeitsregel für 9 durch einfache Betrachtung der Ziffernsumme zu erklären, als ein Stellenwertsystem.

Accepted Answer

True

Answer

False

Question 20

Welche der folgenden Ansätze entsprechen dem Prinzip des 'produktiven Übens' bei der Arbeit mit Primzahlen und dem Sieb des Eratosthenes?

Answer

Schüler sollen die Primzahlen bis 100 auswendig lernen.

Answer

Schüler sollen untersuchen, warum beim Sieb des Eratosthenes nur bis $\sqrt{n}$ gestrichen werden muss.

Answer

Schüler sollen eine Liste aller Primzahlen bis 1000 abschreiben.

Answer

Schüler sollen eigene Zahlenfolgen konstruieren, die nach bestimmten Mustern Primzahlen enthalten oder ausschließen.

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